今天我们来聊聊二阶微分方程,以下6个关于二阶微分方程的观点希望能帮助到您找到想要的大学知识。
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二阶微分方程
二阶微分方程如下：
对于一元函数来说，如果在该方程中出现因变量的二阶导数，通常就称为二阶（常）微分方程，其一般形式为F(x，y，y'，y'')=0。在有些情况下，可以通过适当的变量代换，把二阶微分方程化成一阶微分方程来求解。具有这种性质的微分方程称为可降阶的微分方程，相应的求解方法称为降阶法。
二阶线性微分方程形如 y’’+ P(x) y’+Q(x) y = f(x)，是二阶微分方程 y’’=F(x,y,y’)的特殊形式。当f(x) = 0时，称为齐次的，否则称为非齐次的。二阶线性微分方程的力学背景是加速度，利用牛顿第二定律可以列出二阶线性微分方程。
常系数非齐次线性微分方程特解的待定系数法：
1、f(x) = e^ax^Pm(x)型。
2、f(x) = e^ax^[Pl(x) coswx + Qn(x) sinwx]型。
要点
1、和一阶微分方程对应，掌握齐次方程和非齐次方程的解的结构关系。
2、牢记二级结论，对定理推导的结果如特征根法求解公式。否则做题时重新推导速度太慢。
3、学习和练习的要点就是典型模型识别和套公式的转化化归。因为很多解是采用构造法得出的，能套上合适的模型就是一种能力。不要看不起套公式的方法。
4、二阶齐次方程的通解C1y1(x)+C2y2(x)。
当y1(x)和y2(x)是线性无关的，y= C1 y1(x) + C2 y2(x) 就是齐次微分方程的通解。注意，两个函数只要不是倍数关系，就是线性无关的。
5、二阶非齐次方程的通解 Y + y*。
可以看出，二阶线性微分方程的求解问题转化为两个问题：一是齐次方程的通解求法；二是非齐次方程的特解求法。其中，对常系数微分方程有通解公式，对一般的非齐次方程有常数变易求解方法。
二阶微分方程通解的三种情况是什么
二阶微分方程的3种通解公式如下： 第一种：两个不相等的实根：y=C1e^（r1x）＋C2e^（r2x）。 第二种：两根相等的实根：y=（C1+C2x）e^（r1x）。 第三种：一对共轭复根：r1=α＋iβ，r2=α－iβ：y=e^（αx）＊（C1cosβx+C2sinβx）。 举例说明 求微分方程2y''+y'-y=0的通解。 先求对应的齐次方程2y''+y'-y=0的通解，特征方程为2r²+r-1=0，(2r-1)(r+1)=0，r=1/2或r=-1，故通解为Y=C1 e^(x/2)+C2 e^(-x)。 因为1不是特征根，所以设原方程的特解为y*=Ae^x，则y*'=y*''=Ae^x，代入原方程得，2Ae^x=2e^x，A=1，故y*=e^x。 所以原方程的通解为y=Y+y*，即y=C1 e^(x/2)+C2 e^(-x)+e^x。
二阶线性微分方程是什么?
二阶线性微分方程是指未知函数及其一阶、二阶导数都是一次方的二阶方程。
二阶线性微分方程的求解方式分为两类，一是二阶线性齐次微分方程，二是线性非齐次微分方程。前者主要是采用特征方程求解，后者在对应的齐次方程的通解上加上特解即为非齐次方程的通解。
二阶微分方程的通解公式有以下：
第一种：由y2-y1=cos2x-sin2x是对应齐方程的解可推出cos2x、sin2x均为齐方程的解，故可得方程的通解是：y=C1cos2x+C2sin2x-xsin2x。
第二种：通解是一个解集……包含了所有符合这个方程的解；n阶微分方程就带有n个常数，与是否线性无关，通解只有一个，但是表达形式可能不同，y=C1y1(x)+C2y2(x)是通解的话y=C1y1(x)+C2y2(x)+y1也是通解，但y=C1y1就是特解。
第三种：先求对应的齐次方程2y''+y'-y=0的通解。
二阶微分方程的通解公式
二阶微分方程的通解公式：y''+py'+qy=f(x)，其中p，q是实常数。
自由项f(x)为定义在区间I上的连续函数，即y''+py'+qy=0时，称为二阶常系数齐次线性微分方程。若函数y1和y2之比为常数，称y1和y2是线性相关的。若函数y1和y2之比不为常数，称y1和y2是线性无关的。特征方程为：λ^2+pλ+q=0，然后根据特征方程根的情况对方程求解。
举例
求微分方程：y"-4y'+3y=(x^2-1)e^(3x)的通解。
第一步，先求特征方程r^2-4r+3=0的根，解得r1=3, r2=1。因此齐次方程的通解是Y=C1e^(3x)+C2e^x。
又λ=3是特征方程的一个根，因此设非齐次方程的特解y*=(ax^3+bx^2+cx)e^(3x)，代入原微分方程，可得6ax+2b+2(3ax^2+2bx+c)=x^2-1. 化简得6ax^2+(6a+4b)x+(2b+2c)=x^2-1，因此a=1/6, b=-1/4, c=-1/4。原微分方程的通解为：y=C1e^(3x)+C2e^x+(x^3/6-x^2/4-x/4)e^(3x)。
二阶微分方程求解
方法：
1.二阶常系数齐次线性微分方程解法
一般形式:y”+py’+qy=0,特征方程r2+pr+q=0
特征方程r2+pr+q=0的两根为r1,r2 微分方程y”+py’+qy=0的通解
两个不相等的实根r1,r2 y=C1er1x+C2er2x
两个相等的实根r1=r2 y=(C1+C2x)er1x
一对共轭复根r1=α+iβ,r2=α-iβ y=eαx(C1cosβx+C2sinβx)
2.1.二阶常系数非齐次线性微分方程解法
一般形式: y”+py’+qy=f(x)
先求y”+py’+qy=0的通解y0(x),再求y”+py’+qy=f(x)的一个特解y*(x)
则y(x)=y0(x)+y*(x)即为微分方程y”+py’+qy=f(x)的通解
求y”+py’+qy=f(x)特解的方法:
① f(x)=Pm(x)eλx型
令y*=xkQm(x)eλx［k按λ不是特征方程的根,是特征方程的单根或特征方程的重根依次取0,1或2］再代入原方程,确定Qm(x)的m+1个系数
2.2.②f(x)=eλx［Pl(x)cosωx+Pn(x)sinωx］型
令y*=xkeλx［Qm(x)cosωx+Rm(x)sinωx］［m=max﹛l,n﹜,k按λ+iω不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取0或1］再代入原方程,分别确定Qm(x)和Rm(x)的m+1个系数
例题：
1. y"=f（x）型方程 （方程的右端不显含 y,y
y'=fv"dx=ff(x)dx+C，
y=fydx=fff(x)dx+Cx+C，即y= f(x)dxkx+Cx+C例1解方程 y"=xe*.
解 y'= xe dx=e x-e +C，
y= (xe -e*+C)=xe -e*-e +Cx+C.
2.y”=f（x，y'）型方程 （方程右端不显含 y)
令y'=p(x)，y”=12，代入原方程，得dp
dx=f（x，p)，关于p的一阶微分方程，
设其通解为 p=9(x，C1)， 又p=dy
dx=（x，C)，可分离变量的一阶微分 方程，
积分得通解 y= (x,C)dx+C，
二阶微分方程是什么？
微分方程不是称次，而是称阶。
微分方程中最高阶导数的阶数就是微分方程的阶。
导数的阶数：(y')^4+(y'')³+xy²=0。最高阶为y''。当然就是二阶微分方程。
1、△=p^2-4q>0，特征方程有两个相异实根λ1，λ2，通解的形式为y(x)=C1*[e^(λ1*x)]+C2*[e^(λ2*x)]。
2、△=p^2-4q=0，特征方程有重根，即λ1=λ2，通解为y(x)=(C1+C2*x)*[e^(λ1*x)]。
可降阶方程
在有些情况下，可以通过适当的变量代换，把二阶微分方程化成一阶微分方程来求解。具有这种性质的微分方程称为可降阶的微分方程，相应的求解方法称为降阶法。下面介绍三种容易用降阶法求解的二阶微分方程。
y''=f(x)型方程特点：右端仅含有自变量x，逐次积分即可得到通解，对二阶以上的微分方程也可类似求解。
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