隐函数求导(隐函数求导公式推导)

2023-08-14 04:40:04 大学网

摘要今天我们来聊聊隐函数求导,以下6个关于隐函数求导的观点希望能帮助到您找到想要的大学知识。本文目录隐函数的三种求导方法隐函数的导数怎么求怎么求隐函数的导数?隐函数的导数怎么求?隐函数求导隐函数怎么求导数...

今天我们来聊聊隐函数求导,以下6个关于隐函数求导的观点希望能帮助到您找到想要的大学知识。

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隐函数的三种求导方法

隐函数的三种求导方法如下：

一、隐函数求导法则

隐函数求导法则和复合函数求导相同。由xy²-e^xy+2=0，y²+2xyy′-e^xy(y+xy′)=0，y²+2xyy′-ye^xy-xy′e^xy=0，(2xy-xe^xy)y′=ye^xy-y²，所以y′=dy/dx=y(e^xy-y0/x(2ye^xy)。

对于一个已经确定存在且可导的情况下，我们可以用复合函数求导的链式法则来进行求导。在方程左右两边都对x进行求导，由于y其实是x的一个函数，所以可以直接得到带有y'的一个方程，然后化简得到y'的表达式。

二、隐函数导数的求解一般可以采用以下方法

方法①:先把隐函数转化成显函数，再利用显函数求导的方法求导;

方法②:隐函数左右两边对x求导(但要注意把y看作x的函数);

方法③:利用一阶微分形式不变的性质分别对x和y求导，再通过移项求得的值;

方法④:把n元隐函数看作(n+1)元函数，通过多元函数的偏导数的商求得n元隐函数的导数。

举个例子，若欲求z=f(x,y)的导数，那么可以将原隐函数通过移项化为f(x,y,z)=0的形式，然后通过(式中F'y,F'x分别表示y和x对z的偏导数)来求解。

三、显函数与隐函数

1、显函数

解析式中明显地用一个变量的代数式表示另一个变量时，称为显函数。显函数可以y=f(x)来表示。

2、隐函数

如果方程F(x,y)=0能确定y是x的函数，那么称这种方式表示的函数是隐函数。

3、隐函数与显函数的区别

1.隐函数不一定能写为y=f(x)的形式，如x²+y²=0。

2.显函数是用y=f(x)表示的函数，左边是一个y，右边是x的表达式。比如:y=2x+1。隐函数是x和y都混在一起的，比如2x-y+1=0。

3.有些隐函数可以表示成显函数，叫做隐函数显化，但也有些隐函数是不能显化的，比如e^y+xy=1。

怎么求隐函数的导数？

方法就是将隐函数方程的两边同时对x求导，在求导的过程中，将y看成x的函数，然后利用复合函数的求导法则，得到dy/dx的方程，解这个方程，就得到了 dy/dx的表达式。

隐函数是由隐式方程所隐含定义的函数。设F（x,y）是某个定义域上的函数。如果存在定义域上的子集D，使得对每个x属于D，存在相应的y满足F(x,y)=0，则称方程确定了一个隐函数。记为y=y(x)。 [2] 显函数是用y=f(x)来表示的函数，显函数是相对于隐函数来说的。

求导法则

对于一个已经确定存在且可导的情况下，我们可以用复合函数求导的链式法则来进行求导。在方程左右两边都对x进行求导，由于y其实是x的一个函数，所以可以直接得到带有 y' 的一个方程，然后化简得到 y' 的表达式。

隐函数导数的求解一般可以采用以下方法：

方法①：先把隐函数转化成显函数，再利用显函数求导的方法求导。

方法②：隐函数左右两边对x求导（但要注意把y看作x的函数）。

方法③：利用一阶微分形式不变的性质分别对x和y求导，再通过移项求得的值。

方法④：把n元隐函数看作(n+1)元函数，通过多元函数的偏导数的商求得n元隐函数的导数。

举个例子，若欲求z = f(x,y)的导数，那么可以将原隐函数通过移项化为f(x,y,z) = 0的形式，然后通过（式中F'y,F'x分别表示y和x对z的偏导数）来求解。

隐函数的导数怎么求？

方程xy=e^(x+y)确定的隐函数y的导数： y'=[e^(x+y)-y]/[x-e^(x+y)] 解题过程：方程两边求导：　 y+xy'=e^(x+y)(1+y')　　 y+xy'=e^(x+y)+y'e^(x+y)　 y'[x-e^(x+y)]=e^(x+y)-y　得出最终结果为： y'=[e^(x+y)-y]/[x-e^(x+y)] 隐函数求导方法： 1.先把隐函数转化成显函数，再利用显函数求导的方法求导。 2.隐函数左右两边对x求导。 3.利用一阶微分形式不变的性质分别对x和y求导，再通过移项求得的值。 4.把n元隐函数看作(n+1)元函数，通过多元函数的偏导数的商求得n元隐函数的导数。