今天我们来聊聊法向量,以下6个关于法向量的观点希望能帮助到您找到想要的大学知识。
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法向量是什么
法向量是空间解析几何的一个概念,垂直于平面的直线所表示的向量为该平面的法向量。
法向量简介如下：
法向量，是空间解析几何的一个概念，垂直于平面的直线所表示的向量为该平面的法向量。法向量适用于解析几何。由于空间内有无数个直线垂直于已知平面，因此一个平面都存在无数个法向量（包括两个单位法向量）。
唯一性：
曲面（surface）上的法线向量场（vector field of normals）。曲面法线的法向不具有唯一性（uniqueness），在相反方向的法线也是曲面法线。
曲面在三维的边界（topological boundary）内可以分区出inward-pointing normal 与 outer-pointing normal, 有助于定义出法线唯一方法（unique way）。定向曲面的法线通常按照右手定则来确定。
定义：
三维平面的法线是垂直于该平面的三维向量。曲面在某点P处的法线为垂直于该点切平面（tangent plane）的向量。法线是与多边形（polygon）的曲面垂直的理论线，一个平面（plane）存在无限个法向量（normal vector）。
在电脑图学（computer graphics）的领域里，法线决定着曲面与光源（light source）的浓淡处理（Flat Shading），对于每个点光源位置，其亮度取决于曲面法线的方向。
如果一个非零向量n与平面a垂直，则称向量n为平面a的法向量。垂直于平面的直线所表示的向量为该平面的法向量。每一个平面存在无数个法向量。
法向量是什么意思
法向量是空间解析几何的一个概念，垂直于平面的直线所表示的向量为该平面的法向量。
由于空间内有无数个直线垂直于已知平面，而且每条直线可以存在不同的法向量；因此一个平面都存在无数个法向量，但相互平行。从理论上说，空间零向量是任何平面的法向量，但是由于零向量不能表示平面的信息。一般不选择零向量为平面的法向量。
在平面几何中，如果一个向量垂直于一条直线，那么它就叫做直线的法向量。在立体几何中，如果一个向量垂直于一个平面，那么它就叫做平面的法向量。在立体几何中，如果一个向量同时垂直于两条或多条异面直线，那么向量叫做这些异面直线的公共法向量。
法向量的主要应用如下：
一、求斜线与平面所成的角：
求出平面法向量和斜线的一边，然后联立方程组，可以得到角度的余弦值，根据公式Sinα=|Cosα|。利用这个原理也可以证明线面平行。
二、求二面角：
求出两个平面的法向量所成的角，这个角与二面角相等或互补。
三、求点到面的距离：
求任一斜线（平面上一点与平面内的连线在）法向量方向的射影，利用这个原理也可以求异面直线的距离。
怎么求法向量
法向量可以通过以下步骤去求得： 1、建立恰当的直角坐标系 2、设平面法向量n=（x，y，z） 3、在平面内找出两个不共线的向量，记为a=（a1，a2, a3） b=（b1，b2，b3） 4、根据法向量的定义建立方程组：①n·a=0；②n·b=0 5、解方程组，取其中一组解即可。 法向量的主要应用： 1、求斜线与平面所成的角：求出平面法向量和斜线的夹角,这个角和斜线与平面所成的角互余.利用这个原理也可以证明线面平行； 2、求二面角：求出两个平面的法向量所成的角,这个角与二面角相等或互补； 3、点到面的距离： 任一斜线(平面为一点与平面内的连线)在法向量方向的射影。
什么叫法向量? 什么叫法向量啊?要详细一点的.
法向量是空间解析几何的一个概念,垂直于平面的直线所表示的向量为该平面的法向量.由于空间内有无数个直线垂直于已知平面,而且每条直线可以存在不同的法向量；因此一个平面都存在无数个法向量,但是这些法向量之间相互平行.从理论上述,空间零向量是任何平面的法向量,但是由于零向量不能表示平面的信息.一般不选择零向量为平面的法向量. 如果已知直线与平面垂直,可以取已知直线的两点构成的向量作为法向量；如果不存在这样的直线,可用设元法求一个平面的法向量；步骤如下：首先设平面的法向量m(x,y,z),然后寻找平面内任意两个不共线的向量AB(x1,y1,z1)和CD(x2,y2,z2).由于平面法向量垂直于平面内所有的向量,因此得到x*x1+y*y1+z*z1=0和x*x2+y*y2+z*z2=0.由于上面解法存在三个未知数两个方程(不能通过增加新的向量和方程求解,因为其它方程和上述两个方程是等价的),无法得到唯一的法向量(因为法向量不是唯一的).为了得到确定法向量,可采用固定z=1(也可以固定x=1或y=1)或者模等于1的方法(单位法向量),但是这步并不是必须的.因为确定法向量和不确定法向量的作用是一样的. 法向量的主要应用如下： 1、求斜线与平面所成的角：求出平面法向量和斜线的夹角,这个角和斜线与平面所成的角互余.利用这个原理也可以证明线面平行； 2、求二面角：求出两个平面的法向量所成的角,这个角与二面角相等或互补； 3、点到面的距离： 任一斜线(平面为一点与平面内的连线)在法向量方向的射影；如点B到平面α的距离d=|BD·n|/|n|(等式右边全为向量,D为平面内任意一点,向量n为平面α的法向量).利用这个原理也可以求异面直线的距离 法向量方法是高考数学可以采用的方法之一,他的优点在于思路简单,容易操作.只要能够建立出直角坐标系,都可以写出最后答案.缺点在于同一般立体几何方法相比,其计算量巨大,特别是在计算二面角的时候. （一）直线 的方向向量和平面 的法向量分别为 ,则直线 和平面 所成的角 等于向量 所成的锐角（若所成的角为钝角,则为其补角）的余角,即 . 例题 (2003全国（理）18题) 如图,直三棱柱中,底面是等腰直角三角形, ,侧棱,分别是与的中点,点在平面上的射影是的重心, （Ⅰ）求与平面所成角的大小（结果用反三角函数值表示）； （Ⅱ）求点到平面的距离. （Ⅰ）以为坐标原点,建立如图所示的坐标系, 设,则, , , , , , ∴ , , ∴ , , 由 得, , ∴ , , ,设平面的法向量为 ,则 , ,由, 得, ,令 得, , ∴平面 的一个法向量为 , ∴ 与的夹角的余弦值是 , ∴ 与平面所成角为 . 当直线与平面平行时,直线与平面所成的角为,此时直线的方向向量与平面的法向量垂直,我们可利用这一特征来证明直线与平面平行. （二）如果不在平面内一条直线与平面的一个法向量垂直,那么这条直线和这个平面平行. 例题 （2004年高考湖南（理）19题）如图,在底面是菱形的四棱锥中, , ,点在上,且 , （I）证明： ； （II）求以为棱, 与为面的二面角的大小； （Ⅲ）在棱上是否存在一点,使?证明你的结论. （Ⅲ）以为坐标原点,直线分别为轴、轴,过点垂直平面的直线为轴,建立空间直角坐标系（如图）,由题设条件,相关各点的坐标分别为, , ∴ , , 设平面的法向量为,则由题意可知, , 由 得, ∴ 令得, , ∴平面的一个法向量为 设点是棱上的点,则 , 由 得, ∴ , ∴当是棱的中点时, . 同样,当直线与平面垂直时,直线与平面所成的角为,此时直线的方向向量与平面的法向量平行,我们可利用这一特征来证明直线与平面垂直. （三）设二面角的两个半平面和的法向量分别为,设二面角的大小为,则二面角的平面角与两法向量所成的角相等或互补,当二面角的锐角时, ；当二面角为钝角时, . 例题 2004年高考湖南（理）19题： （Ⅱ）由题意可知, , , ∵ ∴ 为平面的一个法向量, 设平面的法向量为 ,则由题意可知, , 由 得, ∴ 令 得, , ∴平面的一个法向量为, ∴向量与夹角的余弦值是 , ∴ , 由题意可知,以为棱,与为面的二面角是锐角, ∴所求二面角的大小为 . 我们知道当两个平面的法向量互相垂直时,两个平面所成的二面角为直角,此时两个平面垂直,我们可用这一特征来证明两个平面垂直. （四）设两个平面和的法向量分别为,若,则这两个平面垂直. 例题 （1996年全国（文）23题）在正三棱柱中, , 分别是上的点,且 ,求证：平面平面 . 证明：以为坐标原点,建立如图所示的坐标系, 则 , , , , ∴ , , 设平面的法向量为 ,则由题意可知, 由 得, ∴ 令得, , ∴平面的一个法向量为 , 由题意可知,平面的一个法向量为 ∴ ∴平面平面 （五）设平面的法向量为,是平面外一点, 是平面内一点,则点到平面的距离等于在法向量上的投影的绝对值,即 . 我们再来看2003年全国（理）18题： （Ⅱ）设 ,则 , , , , ∴ , , 设平面 的法向量为 ,则 , , 由 , 得, ,令 得, , ∴平面的一个法向量为 ,而 , ∴点 到平面的距离 . 我们知道直线与平面、两个平面的距离都归结为点到平面的距离,故此法同样可以解决直线与平面、两个平行平面的距离. （六）设向量与两异面直线都垂直（我们也把向量称为两异面直线的法向量）,分别为异面直线上的点,则两异面直线的距离等于法向量上的投影的绝对值,即. 例题 （1999年全国（理）21题）如图,已知正四棱柱中,点在棱上,截面 ,且面与底面所成的角为 ,求异面直线与之间的距离. 以为坐标原点,建立如图所示的坐标系 , 连结交于 ,连结 ,则就是 面 与底面所成的角的平面角, ∴= ,∴ 又∵截面 ,为的中点, ∴ 为的中点,∴ , 则 , , , ∴ , , 设向量 与两异面直线都垂直,由 ,得, ∴ ,∴ , ∴异面直线与之间的距离 前面介绍了利用法向量解决空间几何的证明与计算问题,实现了几何问题的代数化,将复杂的几何证明转化为代数运算,从而避免了几何作图,减少了逻辑推理,降低了难度.但公式的应用也有一定的局限性,一般地,在能建立空间直角坐标系的情况下,利用法向量较为有效.
法向量是什么？
法向量是空间解析几何的一个概念，垂直于平面的直线所表示的向量为该平面的法向量。由于空间内有无数个直线垂直于已知平面，因此一个平面都存在无数个法向量（包括两个单位法向量）。
定义：
如果一个非零向量n与平面a垂直，则称向量n为平面a的法向量。
垂直于平面的直线所表示的向量为该平面的法向量。每一个平面存在无数个法向量。
法向量的主要应用如下：
1、求斜线与平面所成的角（一般只求出正弦值即可）：求出平面法向量和斜线的一边，然后联立方程组，可以得到角度的余弦值，根据公式Sinα=|Cosα|。利用这个原理也可以证明线面平行；
2、求二面角：求出两个平面的法向量所成的角，这个角与二面角相等或互补；
3、点到面的距离： 任一斜线(平面上一点与平面内的连线)在法向量方向的射影；如点B到平面α的距离d=|BD·n|/|n|(等式右边全为向量，D为平面内任意一点，向量n为平面α的法向量)。利用这个原理也可以求异面直线的距离
法向量方法是高考数学可以采用的方法之一，它的优点在于思路简单，容易操作。只要能够建立出直角坐标系，都可以写出最后答案。缺点在于同一般立体几何方法相比，其计算量巨大，特别是在计算二面角的时候。
参考链接：法向量_百度百科
http://baike.baidu.com/view/1486647.htm
法向量怎么求
法向量求法如下：
1、建立恰当的直角坐标系。
2、设平面法向量n=（x，y，z）。
3、在平面内找出两个不共线的向量，记为a=（a1，a2, a3） b=（b1，b2，b3）。
4、根据法向量的定义建立方程组①n·a=0 ②n·b=0。
5、解方程组，取其中一组解即可。
关于法向量微分几何的计算方式，这涉及到曲面的表示方式。通常曲面的表示方式为：
（1）隐函数：F(x,y,z)=0， 如平面x+y+z=0。
（2）（参数化的）向量形式：r(u,v)=x(u,v)i+y(u,v)j+z(u,v)k. 因为曲面的维度为2，所以一般是两个参数u,v。比如：x+y+z=0 可表示为：r(u,v)=ui+vj+(-u-v)k。
对应的，计算法向量的方式分别为：
（1）grad(F)。即隐函数F(x,y,z)的梯度。
（2）grad(F)。 即为曲面在点(x,y,z)处的法向量，也即，法向量为F(x,y,z)=C变化率最大的方向。
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