今天我们来聊聊三角形重心,以下6个关于三角形重心的观点希望能帮助到您找到想要的大学知识。
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三角形的重心是什么？
三角形的重心是指三角形三条中线的交点，它被称为重心或质心。
一、三角形的重心的重要性质
重心到三个顶点的距离相等：从重心到三个顶点的距离相等，即重心到每条边的中点的距离相等。
三个重心到对边中点的线段交于一点：连接重心和三个对边中点的线段交于一点，这个点即为重心。
重心将中线按比例分成2：1：重心将每条中线分成两个部分，从重心到顶点的部分与从重心到对边中点的部分的比例为2:1。
重心是平衡点：如果把三角形看成一个平面物体，以顶点为质量点，那么重心就是这个物体的平衡点，意味着通过重心的平衡轴上的力矩为零。
二、三角形的五心
1、外心：外心是以三角形三个顶点为圆心的外接圆的圆心。外接圆的半径等于外心到三个顶点的距离相等。外心是三角形的唯一一个可以与三条边相切的圆心。
2、内心：内心是以三角形三条边为切线的内切圆的圆心。内切圆与三条边相切并且是三角形的唯一一个可以与三条边相切的圆。内心到三条边的距离相等。
3、垂心：垂心是三条高线的交点，高线是从三个顶点到对边垂直的线段。垂心是唯一一个能够同时位于各个高线上的点，且垂心到三个顶点和垂足（高线与对边的交点）的距离相等。
4、重心：重心是以三角形的三个顶点为顶点的三条中线的交点。重心到三个顶点的距离相等。
5、德洛尼圆心：德洛尼圆心是以三角形的外心、重心和垂心为圆心的圆心。这个圆心也被称为欧拉圆心。
三角形重心性质的一般应用
1、证明三角形性质：重心是三角形的一个重要几何特征点，可以用来证明一些关于三角形的性质。例如，通过重心可以证明重心到顶点的距离相等，或者利用重心的性质来证明三角形的平行线等边三角形等特性。
2、解决三角形的优化问题：在某些优化问题中，可以利用重心的性质来求解问题。例如，通过最小化重心到顶点的距离之和，可以求得一个与三个顶点距离之和最小的点，从而解决最短路径问题、最小覆盖问题等。
3、描述和构造三角形：重心是三角形的一个重要特征点，可以被用来描述和构造三角形。在绘图和建模中，通过连接重心和其他特殊点，如外心、内心和垂心，可以构造出不同类型的三角形。
三角形的重心是什么，求画图，有什么性质
三角形重心是三角形三条中线的交点。
性质一、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。
性质二、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
性质三、重心到三角形3个顶点距离平方的和最小。 (等边三角形）
性质四、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数。
性质五、三角形内到三边距离之积最大的点。
性质六、在△ABC中，若MA向量+MB向量+MC向量=0（向量） ，则M点为△ABC的重心，反之也成立。
性质七、设△ABC重心为G点，所在平面有一点O，则向量OG=1/3（向量OA+向量OB+向量OC）
关于重心的顺口溜：
三条中线必相交，交点命名为重心
重心分割中线段，线段之比二比一；
扩展资料：
三角形的五心之其他四心：
内心：三角形三边的垂直平分线的交点叫三角形的外心.(外接圆的圆心)
外心：三角形的内心是三角形三条角平分线的交点(或内切圆的圆心)。
垂心：三角形的垂心是三角形三边上的高的交点(通常用H表示)。
旁心： 三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点，该点即为三角形的旁心。
三角形的重心是什么？
三角形重心是三角形三条中线的交点。当几何体为匀质物体时，重心与形心重合。
任意三角形的三条中线把三角形分成面积相等的六个部分。中线都把三角形分成面积相等的两个部分。除此之外，任何其他通过中点的直线都不把三角形分成面积相等的两个部分。
中线（中点）运用：
1、几何中的中线（中点）常常是联系在一起的。因此遇到中点这样的条件（或关键词）我们可以考虑中线定理与中位线定理进行思考。
2、在面积问题中，中线把三角形的面积等分，如果两个三角形的高相同，面积之比可转化为底边之比。
3、在涉及中线的有关长度计算问题，往往需要“倍长中线”。
扩展资料
三角形重心常用性质：
1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。
2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等
证明方法：
在△ABC内，三边为a，b，c，点O是该三角形的重心，AOA'、BOB'、COC'分别为a、b、c边上的中线。根据重心性质知：
OA'=1/3AA'
OB'=1/3BB'
OC'=1/3CC'
过O，A分别作a边上高OH'，AH
可知OH'=1/3AH
则，S△BOC=1/2×OH'a=1/2×1/3AHa=1/3S△ABC
同理可证S△AOC=1/3S△ABC
S△AOB=1/3S△ABC
所以，S△BOC=S△AOC=S△AOB 3、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数
即其坐标为[(X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3]；
4、三角形内到三边距离之积最大的点
5、卡诺重心定理：若G为三角形ABC的重心,P为三角形ABC所在平面上任意一点，则PA^2+PB^2+PC^2=GA^2+GB^2+GC^2+3PG^2=1/3(a^2+b^2+c^2)+3PG^2
参考资料来源：百度百科-三角形重心
三角形的重心怎么求
三角形重心是三角形三边中线的交点. 根据重心的性质,三边中线必交于一点. 所以作三角形任意两边的中线,其交点就是此三角形的重心. 1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1. 证明一 三角形ABC,E、F是AB,AC的中点.EC、FB交于G. 证明：过E作EH平行BF. ∵AE=BE且EH//BF ∴AH=HF=1/2AF（中位线定理） 又∵ AF=CF ∴HF=1/2CF ∴EG=1/2CG（⊿CFG∽⊿CHE） 2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等. 证明二 证明方法： 在△ABC内,三边为a,b,c,点O是该三角形的重心,AOA1、BOB1、COC1分别为a、b、c边上的中线根据重心性质知,OA1=1/3AA1,OB1=1/3BB1,OC1=1/3CC1过O,A分别作a边上高H1,H可知OH1=1/3AH 则,S(△BOC)=1/2×h1a=1/2×1/3ha=1/3S(△ABC)；同理可证S(△AOC)=1/3S(△ABC),S(△AOB)=1/3S(△ABC) 所以,S(△BOC)=S(△AOC)=S(△AOB) 3、重心到三角形3个顶点距离平方的和最小.(等边三角形） 证明方法： 设三角形三个顶点为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3) 平面上任意一点为（x,y） 则该点到三顶点距离平方和为：(x1-x)^2+(y1-y)^2+(x2-x)^2+(y2-y)^2+(x3-x)^2+(y3-y)^2 =3x^2-2x(x1+x2+x3)+3y^2-2y(y1+y2+y3)+x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2 =3(x-1/3*(x1+x2+x3))^2+3(y-1/3(y1+y2+y3))^2+x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2-1/3(x1+x2+x3)^2-1/3(y1+y2+y3)^2 显然当x=(x1+x2+x3)/3,y=(y1+y2+y3)/3（重心坐标）时 上式取得最小值x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2-1/3(x1+x2+x3)^2-1/3(y1+y2+y3)^2 最终得出结论. 4、在平面直角坐标系中,重心的坐标是顶点坐标的算术平均数, 即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)； 空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3竖坐标：（z1+z2+z3）/3 5、三角形内到三边距离之积最大的点. 6、在△ABC中,若MA向量+MB向量+MC向量=0（向量） ,则M点为△ABC的重心,反之也成立. 7、设△ABC重心为G点,所在平面有一点O,则向量OG=1/3（向量OA+向量OB+向量OC） 8、相同高三角形面积比为底的比,相同底三角形面积比为高的比. 证明方法： ∵D为BC中点, ∴BD=CD, 又∵h△ABD=h△ACD,h△BOD=h△COD, ∴S△ABD=S△ACD,S△BOD=S△COD, 即S△AOF+S△BOF+S△BOD=S△AOE+S△COE+S△COD,S△BOD=S△COD, ∴S△AOF+S△BOF=S△AOE+S△COE. 同理, ∵E为AC中点, ∴S△AOF+S△BOF=S△BOD+S△COD. ∴S△AOE+S△COE=S△BOD+S△COD. 又∵S△BOF/S△BOD+S△COD=OF/OC,S△AOF/S△AOE+S△COE, 即S△BOF=S△AOF. ∴BF=AF, ∴CF为AB边上的中线, 即三角形的三条中线相交于一点.
三角形的重心、垂心是什么？
重心:三角形顶点与对边中点的连线交于一点,称为三角形重心;
垂心:三角形各边上的高交于一点,称为三角形垂心;
外心:三角形各边上的垂直平分线交于一点,称为三角形外心;
内心:三角形三内角平分线交于一点,称为三角形内心;
中心:正三角形的重心、垂心、外心、内心重合，称为正三角形的中心。
三角形“五心歌”
三角形有五颗心；重、垂、内、外和旁心，
五心性质很重要，认真掌握莫记混．
重 心
三条中线定相交，交点位置真奇巧，
交点命名为“重心”，重心性质要明了，
重心分割中线段，数段之比听分晓；
长短之比二比一，灵活运用掌握好．
垂 心
三角形上作三高，三高必于垂心交．
高线分割三角形，出现直角三对整，
直角三角形有十二，构成六对相似形，
四点共圆图中有，细心分析可找清.
内 心
三角对应三顶点，角角都有平分线，
三线相交定共点，叫做“内心”有根源；
点至三边均等距，可作三角形内切圆，
此圆圆心称“内心”如此定义理当然．
外 心
三角形有六元素，三个内角有三边．
作三边的中垂线，三线相交共一点．
此点定义为“外心”，用它可作外接圆．
“内心”“外心”莫记混，“内切”“外接”是关键．
按照这个自行画画图,对照上面别人的解释体会一下.
三角形重心怎样确定?重心到三边的关系?以及其他关系?
1)重心分中线成两段,它们的长度比为2:1.
2)三条中线将三角形分成六个小块,六个小块面积相等,也就是说重心和三顶点的连线,将三角形的面积三等分.[证明: 用等底等高的三角形面积相等.高2倍底一倍的三角形面积等于高一倍底2倍的三角形面积]
2)材质均匀的三角形物体,他的重心就在几何重心上.也就是说,你可以从重心穿过一条线,手提这条线,而三角形物体保持水平.
三角形的五心
一 定理
重心定理：三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的
离是它到对边中点距离的2倍。该点叫做三角形的重心。
外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点。该点叫做三角形的外心。
垂心定理：三角形的三条高交于一点。该点叫做三角形的垂心。
内心定理：三角形的三内角平分线交于一点。该点叫做三角形的内心。
旁心定理：三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点。该点叫做三角形的旁心。三角形有三个旁心。
三角形的重心、外心、垂心、内心、旁心称为三角形的五心。它们都是三角形的重要相关点。
上述的几个结论早在欧几里得时代均已被人发现，欧几里得除垂心定理外，均把它们作为重要定理收集在自己的《几何原本》里，但后来关于三角形这些特殊相关点的诸多研究及由此得出的许多著名结论表明，遗漏垂心定理不能不算是《几何原本》作者的一个疏忽。这些性质都是可以直接用的啊
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