今天我们来聊聊中位线定理,以下6个关于中位线定理的观点希望能帮助到您找到想要的大学知识。
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三角形中位线的性质和判定定理
三角形中位线的性质和判定定理如下：
1、三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
2、判定定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的二分之一。性质：若在一个三角形中，一条线段是平行于一条边，且等于平行边的一半（这条线段的端点必须是交于另外两条边上的中点），这条线段就是这个三角形的中位线。
3、三条中位线围成的三角形的面积是原三角形的四分之一，三条中位线形成的三角形的周长是原三角形的二分之一。注意：三角形中线是连结一顶点和它对边的中点，而三角形中位线是连结三角形两边中点的并且与底边平行且等于底边一半的的线段。
4、中位线判定定理证明：延长DE 到 F，使EF=DE ，连接CF、DC、AF。∵AE=CE，DE=EF，∴四边形ADCF为平行四边形，∴AD∥CF，AD=CF；∵AD=BD，∴BD∥CF，BD=CF，∴四边形BCFD为平行四边形，∴BC∥DF，BC=DF，∴DE∥BC且DE=1/2BC。
中位线的性质
中位线
1.中位线概念：
(1)三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
(2)梯形中位线定义：连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线．
注意：
(1)要把三角形的中位线与三角形的中线区分开．三角形中线是连结一顶点和它的对边中点的 线段，而三角形中位线是连结三角形两边中点的线段．
(2)梯形的中位线是连结两腰中点的线段而不是连结两底中点的线段．
(3)两个中位线定义间的联系：可以把三角形看成是上底为零时的梯形，这时梯形的中位线就变成三角形的中位线．
2.中位线定理：
(1)三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半．
(2)梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半．
中位线是三角形与梯形中的一条重要线段，由于它的性质与线段的中点及平行线紧密相连，因此，它在几何图形的计算及证明中有着广泛的应用．
例1 如图2-53所示．△ABC中，AD⊥BC于D，E，F，△ABC的面积．
分析 由条件知，EF，EG分别是三角形ABD和三角形ABC的中位线．利用中位线的性质及条件中所给出的数量关系，不难求出△ABC的高AD及底边BC的长．
解 由已知，E，F分别是AB，BD的中点，所以，EF是△ABD的一条中位线，所以
由条件AD+EF=12(厘米)得
EF=4(厘米)，
从而 AD=8(厘米)，
由于E，G分别是AB，AC的中点，所以EG是△ABC的一条中位线，所以
BC=2EG=2×6=12(厘米)，
显然，AD是BC上的高，所以
例2 如图 2-54 所示．△ABC中，∠B，∠C的平分线BE，CF相交于O，AG⊥BE于G，AH⊥CF于H．
(1)求证：GH‖BC；
(2)若AB=9厘米，AC=14厘米，BC=18厘米，求GH．
分析 若延长AG，设延长线交BC于M．由角平分线的对称性可以证明△ABG≌△MBG，从而G是AM的中点；同样，延长AH交BC于N，H是AN的中点，从而GH就是△AMN的中位线，所以GH‖BC，进而，利用△ABC的三边长可求出GH的长度．
(1)证 分别延长AG，AH交BC于M，N，在△ABM中，由已知，BG平分∠ABM，BG⊥AM，所以
△ABG≌△MBG(ASA)．
从而，G是AM的中点．同理可证
△ACH≌△NCH(ASA)，
从而，H是AN的中点．所以GH是△AMN的中位线，从而，HG‖MN，即
HG‖BC．
(2)解 由(1)知，△ABG≌△MBG及△ACH≌△NCH，所以
AB=BM=9厘米，AC=CN=14厘米．
又BC=18厘米，所以
BN=BC-CN=18-14=4(厘米)，
MC=BC-BM=18-9=9(厘米)．
从而
MN=18-4-9=5(厘米)，
说明 (1)在本题证明过程中，我们事实上证明了等腰三角形顶角平分线三线合一(即等腰三角形顶角的平分线也是底边的中线及垂线)性质定理的逆定理：“若三角形一个角的平分线也是该角对边的垂线，则这条平分线也是对边的中线，这个三角形是等腰三角形”．
(2)“等腰三角形三线合一定理”的下述逆命题也是正确的：“若三角形一个角的平分线也是该角对边的中线，则这个三角形是等腰三角形，这条平分线垂直于对边”．同学们不妨自己证明．
(3)从本题的证明过程中，我们得到启发：若将条件“∠B，∠C的平分线”改为“∠B(或∠C)及∠C(或∠B)的外角平分线”(如图2-55所示)，或改为“∠B，∠C的外角平分线”(如图2-56所示)，其余条件不变，那么，结论GH‖BC仍然成立．同学们也不妨试证．
例3 如图2-57所示．P是矩形ABCD内的一点，四边形BCPQ是平行四边形，A′，B′，C′，D′分别是AP，PB，BQ，QA的中点．求证：A′C′=B′D′．
分析 由于A′，B′，C′，D′分别是四边形APBQ的四条边AP，PB，BQ，QA的中点，有经验的同学知道A′B′C′D′是平行四边形，A′C′与B′D′则是它的对角线，从而四边形A′B′C′D′应该是矩形．利用ABCD是矩形的条件，不难证明这一点．
证 连接A′B′，B′C′，C′D′，D′A′，这四条线段依次是△APB，△BPQ，△AQB，△APQ的中位线．从而
A′B′‖AB，B′C′‖PQ，
C′D′‖AB，D′A′‖PQ，
所以，A′B′C′D′是平行四边形．由于ABCD是矩形，PCBQ是平行四边形，所以
AB⊥BC，BC‖PQ．
从而
AB⊥PQ，
所以 A′B′⊥B′C′，
所以四边形A′B′C′D′是矩形，所以
A′C′=B′D′． ①
说明 在解题过程中，人们的经验常可起到引发联想、开拓思路、扩大已知的作用．如在本题的分析中利用“四边形四边中点连线是平行四边形”这个经验，对寻求思路起了不小的作用．因此注意归纳总结，积累经验，对提高分析问题和解决问题的能力是很有益处的．
例4 如图2-58所示．在四边形ABCD中，CD＞AB，E，F分别是AC，BD的中点．求证：
分析 在多边形的不等关系中，容易引发人们联想三角形中的边的不形中构造中位线，为此，取AD中点．
证 取AD中点G，连接EG，FG，在△ACD中，EG是它的中位线(已知E是AC的中点)，所以
同理，由F，G分别是BD和AD的中点，从而，FG是△ABD的中位线，所以
在△EFG中，
EF＞EG-FG． ③
由①，②，③
例5 如图2-59所示．梯形ABCD中，AB‖CD，E为BC的中点，AD=DC+AB．求证：DE⊥AE．
分析 本题等价于证明△AED是直角三角形，其中∠AED=90°．
在E点(即直角三角形的直角顶点)是梯形一腰中点的启发下，添梯形的中位线作为辅助线，若能证明，该中位线是直角三角形AED的斜边(即梯形另一腰)的一半，则问题获解．
证 取梯形另一腰AD的中点F，连接EF，则EF是梯形ABCD的中位线，所以
因为AD=AB+CD，所以
从而
∠1=∠2，∠3=∠4，
所以∠2+∠3=∠1+∠4=90°(△ADE的内角和等于180°)．从而
∠AED=∠2+∠3=90°，
所以 DE⊥AE．
例6 如图2-60所示．△ABC外一条直线l，D，E，F分别是三边的中点，AA1，FF1，DD1，EE1都垂直l于A1，F1，D1，E1．求证：
AA1+EE1=FF1+DD1．
分析 显然ADEF是平行四边形，对角线的交点O平分这两条对角线，OO1恰是两个梯形的公共中位线．利用中位线定理可证．
证 连接EF，EA，ED．由中位线定理知，EF‖AD，DE‖AF，所以ADEF是平行四边形，它的对角线AE，DF互相平分，设它们交于O，作OO1⊥l于O1，则OO1是梯形AA1E1E及FF1D1D的公共中位线，所以
即 AA1+EE1=FF1+DD1．
练习十四
1．已知△ABC中，D为AB的中点，E为AC上一点，AE=2CE，CD，BE交于O点，OE=2厘米．求BO的长．
2．已知△ABC中，BD，CE分别是∠ABC，∠ACB的平分线，AH⊥BD于H，AF⊥CE于F．若AB=14厘米，AC=8厘米，BC=18厘米，求FH的长．
3．已知在△ABC中，AB＞AC，AD⊥BC于D，E，F，G分别是AB，BC，AC的中点．求证：∠BFE=∠EGD．
4．如图2-61所示．在四边形ABCD中，AD=BC，E，F分别是CD，AB的中点，延长AD，BC，分别交FE的延长线于H，G．求证：∠AHF=∠BGF．
5．在△ABC中，AH⊥BC于H，D，E，F分别是BC，CA，AB的中点(如图2-62所示)．求证：∠DEF=∠HFE．
6．如图2-63所示．D，E分别在AB，AC上，BD=CE，BE，CD的中点分别是M，N，直线MN分别交AB，AC于P，Q．求证：AP=AQ．
7．已知在四边形ABCD中，AD＞BC，E，F分别是AB，CD
三角形中位线定理是什么意思
三角形中位线定理是三角形的中位线平行于第三边（不与中位线接触），并且等于第三边的一半。下面整理了三角形中位线定理和证明方法，供大家参考。
三角形中位线定理及证明
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边（不与中位线接触），并且等于第三边的一半。
证明：已知△ABC中，D，E分别是AB，AC两边中点。求证DE平行于BC且等于BC/2
过C作AB的平行线交DE的延长线于G点。
逆定理
逆定理一：在三角形内，与三角形的两边相交，平行且等于三角形第三边一半的线段是三角形的中位线。
逆定理二：在三角形内，经过三角形一边的中点，且与另一边平行的线段，是三角形的中位线。
中位线的性质判定定理
中位线的性质判定定理，详细介绍如下：
一、判定定理：
中位线的性质判定定理是一个三角形的三条中位线交于一点，且这个交点与三角形的顶点距离相等，可以判断这个交点是三角形的质心。
中位线是连接一个三角形的两个非顶点的中点的线段。一个三角形有三条中位线，它们相互交于一个点，称为三角形的质心，三角形的每条中位线长度等于与它所对的边的一半，三条中位线的交点即为三角形的质心，质心离三个顶点的距离相等。
二、中位线的计算方法：
中位线是指一组数据按照大小排序后，位于中间的数值，将数据从小到大排序，如果数据个数为奇数，则中位线为排序后的中间数。如果数据个数为偶数，则中位线为排序后中间两个数的平均值。
中位线更适合应用于有离群值存在的数据集，能够更好地体现整体的趋势，而平均数更适用于数据集中没有明显离群值的情况，能够较好地反映平均水平。
三、中位线与平均数的比较：
中位线不受极端值的影响，更能反映数据的集中趋势，它能够排除极端值对整体数据的影响，更加稳定和鲁棒。
平均数是将所有数值相加后再除以数据个数得到的结果，平均数受极端值的影响较大，可能会被极大值或极小值拉高或拉低。
四、中位线的应用：
描述数据的集中趋势，中位线能够很好地描述一组数据的集中趋势，用于了解数据的分布情况和总体特征。
评估数据的稳定性，中位线能够排除极端值的影响，对于一些异常情况下的数据分析，更能反映数据的整体情况，提供稳定的分析结果。
比较数据集的差异，通过比较不同数据集的中位线，可以判断它们的集中程度和发散程度，进而进行数据间的比较和分析。
中位线定理定义
中位线定理定义：
中位线是在三角形或梯形中一条特殊的线段，与其所在的三角形或梯形有着特殊的关系。连接三角形的两边中点的线段叫做三角形的中位线。三角形有三条中位线，首尾相接时，每个小三角形面积都等于原三角形的四分之一，这四个三角形都互相全等。
概念：
中位线定理中位线概念：
1、三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
2、梯形中位线定义：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。
注意：
1、要把三角形的中位线与三角形的中线区分开。三角形中线是连接一顶点和它的对边中点的线段，而三角形中位线是连接三角形两边中点的线段。
2、梯形的中位线是连接两腰中点的线段而不是连结两底中点的线段。
3、两个中位线定义间的联系：可以把三角形看成是上底为零时的梯形，这时三角形的中位线就变成梯形的中位线。
定理：
1、三角形中位线定理：三角形的中位线平行且相等于第三边的一半。
2、梯形中位线：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。
定义：
三角形：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。三角形的中位线平行于第三边，其长度为第三边长的一半，通过相似三角形的性质易得。其两个逆定理也成立，即经过三角形一边中点平行于另一边的直线，必平分第三边；
以及三角形内部平行于一边且长度为此边一半的线段必为此三角形的中位线。但是注意过三角形一边中点作一长度为底边一半的线段有两个，不一定与底边平行。
梯形：连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。梯形的中位线平行于上底和下底，其长度为上、下底长度和的一半，可将梯形旋转180°、将其补齐为平行四边形后易证。其逆定理正确与否与上相仿。
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边边长的一半。
连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线，梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。
中位线定理怎么证明
中位线定理怎么证明如下：
三角形的中位线平行于第三边（不与中位线接触），并且等于第三边的一半。证明此定理，可以设计问题为：在三角形ABC中，DE是以BC为底的三角形中位线，则可得DE平行于BC，且DE=BC/2。之后证明即可。
一、中位线定理
三角形的中线是连接一个角的顶点与对立边中点的线段。三角形的三条中线交于一个点，称为三角形的重心。三角形的三条中线所构成的三角形，称为原三角形的中位三角形。三角形的中位线定理是指：一个三角形的三条中线交于一点，且这个点到三角形三个顶点的距离相等，这个点就是三角形的重心。
初等平面几何中，有关三角形中位线的定理：“三角形的中位线平行于底边，且等于底边的一半。”及“过三角线一边的中点且平行于另一边的直线必过第三边的中点。”在几何题的证明中应用十分广泛。
其原因是由于定理中有平行线出现，这样就产生了同位角、内错角、同旁内角等许多角之间的等量关系，又由于中位线等干底边的一半。并且平分两腰，这样就出现了线段之间的等量关系。更主要的是定理将角的等量关系与线段的等量关系有机地联系在一起。
二、说明
1、要把三角形的中位线与三角形的中线区分开。三角形中线是连接一顶点和它的对边中点的线段，而三角形中位线是连接三角形两边中点的线段。
2、梯形的中位线是连接两腰中点的线段而不是连结两底中点的线段。
3、两个中位线定义间的联系：可以把三角形看成是上底为零时的梯形，这时三角形的中位线就变成梯形的中位线。
4、三条中位线形成的三角形的面积是原三角形面积的四分之一。
5、三条中位线形成的三角形的周长是原三角形周长的二分之一。
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