今天我们来聊聊正交矩阵,以下6个关于正交矩阵的观点希望能帮助到您找到想要的大学知识。
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什么是正交矩阵？
如果AAT=E（E为单位矩阵，AT表示“矩阵A的转置矩阵”）或ATA=E，则n阶实矩阵A称为正交矩阵。
正交矩阵是实数特殊化的酉矩阵，因此总是属于正规矩阵。尽管我们在这里只考虑实数矩阵，但这个定义可用于其元素来自任何域的矩阵。正交矩阵毕竟是从内积自然引出的，所以对于复数的矩阵这导致了归一要求。
实正交矩阵（即该正交矩阵中所有元都是实数）可以看做是一种特殊的酉矩阵，但也存在一种复正交矩阵，这种复正交矩阵不是酉矩阵。
矩阵性质：
实数方块矩阵是正交的，当且仅当它的列形成了带有普通欧几里得点积的欧几里得空间R的正交规范基，它为真当且仅当它的行形成R的正交基。假设带有正交(非正交规范)列的矩阵叫正交矩阵可能是诱人的，但是这种矩阵没有特殊价值而没有特殊名字；他们只是MM=D，D是对角矩阵。
任何正交矩阵的行列式是+1或−1。这可从关于行列式的如下基本事实得出：（注：反过来不是真的；有+1行列式不保证正交性，即使带有正交列，可由下列反例证实。）
什么是正交矩阵？
正交矩阵是方块矩阵，行向量和列向量皆为正交的单位向量。
如果AAT=E（E为单位矩阵，AT表示“矩阵A的转置矩阵”）或ATA=E，则n阶实矩阵A称为正交矩阵。正交矩阵是实数特殊化的酉矩阵，因此总是属于正规矩阵。
尽管在这里只考虑实数矩阵，但这个定义可用于其元素来自任何域的矩阵。正交矩阵毕竟是从内积自然引出的，所以对于复数的矩阵这导致了归一要求。
正交矩阵不一定是实矩阵。实正交矩阵（即该正交矩阵中所有元都是实数）可以看做是一种特殊的酉矩阵，但也存在一种复正交矩阵，这种复正交矩阵不是酉矩阵。
正交矩阵定义：
如果：AA＇＝E（E为单位矩阵，A＇表示“矩阵A的转置矩阵”．）或A′A＝E，则n阶实矩阵A称为正交矩阵，若A为单位正交阵，则满足以下条件：1）A是正交矩阵。
判断是正交矩阵的方法：
一般就是用定义来验证，若AA' = I,则A为正交矩阵，也就是验证每一行(或列)向量的模是否为1
任意两行(或列)的内积是否为0。
正交矩阵有什么特点？
正交矩阵的特点如下：
1、实数方块矩阵是正交的，当且仅当它的列形成了带有普通欧几里得点积的欧几里得空间R的正交规范基，它为真当且仅当它的行形成R的正交基。
2、任何正交矩阵的行列式是+1或−1。这可从关于行列式的如下基本事实得出：（注：反过来不是真的；有+1行列式不保证正交性，即使带有正交列，可由下列反例证实。）
3、对于置换矩阵，行列式是+1还是−1匹配置换是偶还是奇的标志，行列式是行的交替函数。
4、比行列式限制更强的是正交矩阵总可以是在复数上可对角化来展示特征值的完全的集合，它们全都必须有(复数)绝对值1。
扩展资料
正交矩阵的意义
矩阵的作用就是一个运动的快照，矩阵乘以一个向量，相当于将这个向量进行旋转，伸缩。而如果是正交矩阵乘以一个向量，它就是所有保持原点不动、长度不变的线性变换。
比如旋转，比如反射。就这两种。前者保持定向，后者反向。以二维为例，正交矩阵都为[ cos(a), sin(a); -sin(a), cos(a)], 或者[1, 0; 0, -1]，或者这两者的组合的形式。前者是旋转a弧度，后者是按x轴反射。
参考资料来源：百度百科—正交矩阵
什么是正交矩阵
什么是正交矩阵如下：
定义
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如果：AAT=E（E为单位矩阵，AT表示“矩阵A的转置矩阵”。）或ATA=E，则n阶实矩阵A称为正交矩阵，若A为正交阵，则满足以下条件 [2] [3] :
1)AT是正交矩阵
2)（E为单位矩阵）
3)AT的各行是单位向量且两两正交
4)AT的各列是单位向量且两两正交
5)(Ax,Ay)=(x,y)x,y∈R
6)|A|=1或-1
7)
8)正交矩阵通常用字母Q表示。
(9)举例：
若A=[r11r12r13;r21r22r23;r31r32r33]，则有： 定理
在矩阵论中，实数正交矩阵是方块矩阵Q，它的转置矩阵是它的逆矩阵，如果正交矩阵的行列式为+1，则称之为特殊正交矩阵。
1.方阵A正交的充要条件是A的行（列）向量组是单位正交向量组；
2.方阵A正交的充要条件是A的n个行（列）向量是n维向量空间的一组标准正交基；
3.A是正交矩阵的充要条件是：A的行向量组两两正交且都是单位向量；
4.A的列向量组也是正交单位向量组。
5.正交方阵是欧氏空间中标准正交基到标准正交基的过渡矩阵
什么是正交矩阵
如果：AA'=E（E为单位矩阵，A'表示“矩阵A的转置矩阵”。）或A′A=E，则n阶实矩阵A称为正交矩阵
例如：
1 0 1 0
矩阵A： 0 1 A的转置： 0 1 此时 AA'=E
故A本身是正交矩阵
由于AA'=E 由逆矩阵定义 若AB=E 则B为A的逆矩阵 可以知道 A'为A的逆矩阵
也就是说正交矩阵本身必然是可逆矩阵
即
若A是正交矩阵则A的n个行（列)向量是n维向量空间的一组标准正交基【即线性不相关】
扩展资料
在矩阵论中，正交矩阵（orthogonal matrix）是一个方块矩阵Q，其元素为实数，而且行与列皆为正交的单位向量，使得该矩阵的转置矩阵为其逆矩阵。
作为一个线性映射（变换矩阵），正交矩阵保持距离不变，所以它是一个保距映射，具体例子为旋转与镜射。
行列式值为+1的正交矩阵，称为特殊正交矩阵，它是一个旋转矩阵。
行列式值为-1的正交矩阵，称为瑕旋转矩阵。瑕旋转是旋转加上镜射。镜射也是一种瑕旋转。
参考资料：百度百科-正交矩阵
什么叫正交矩阵
正交矩阵是实数特殊化的酉矩阵，是数学运算的一种方法，在数学领域有着较高的地位。在矩阵论中，实数正交矩阵是方块矩阵，它的转置矩阵是它的逆矩阵，如果正交矩阵的行列式为加一，则称之为特殊正交矩阵。正交矩阵定理有： 1、 方阵正交的充要条件是，行和列向量组是单位正交向量组； 2、 方阵正交的充要条件是，n个行和列向量是n维向量空间的一组标准正交基； 3、 正交矩阵的充要条件是，行向量组两两正交且都是单位向量； 4、 列向量组也是正交单位向量组； 5、 正交方阵是欧氏空间中标准正交基到标准正交基的过渡矩阵。
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