今天我们来聊聊抛物线的几何性质,以下6个关于抛物线的几何性质的观点希望能帮助到您找到想要的大学知识。
本文目录
抛物线的简单几何性质
抛物线的简单几何性质如下：
(1)范围 x≥0,y∈R。
(2)对称性 关于x轴对称,对称轴又叫抛物线的轴。
(3)顶点 抛物线和它的轴的交点。
(4)离心率 始终为常数1。
(5)焦半径 PF|=x0+p/2。
(6)通径 通过焦点且垂直对称轴的直线，与抛物线相交于两点，连接这两点的线段叫做抛物线的通径，通径的长度：2P。
抛物线方程是指抛物线的轨迹方程，是一种用方程来表示抛物线的方法。在几何平面上可以根据抛物线的方程画出抛物线。抛物线在合适的坐标变换下，也可看成二次函数图像。
抛物线的定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(F∈l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线。
抛物线的定义也可以说成是：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离的比等于1的点的轨迹。
抛物线的规律总结：
①在抛物线的定义中的定点F不在直线l上，否则动点的轨迹就是过点F且垂直于直线l的一条直线，而不再是抛物线。
②抛物线的定义中指明了抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等，故在一些问题中，二者可以互相转化，这是利用抛物线定义解题的关键。
抛物线几何性质
抛物线性质：焦半径公式：y2=2pxp>0F=2x0Mx0，y0为抛物线上任意一点的坐标；AB=cos2x2=2pyp>0通径是最短的焦点弦。
平面内，到定点与定直线余纯中的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。其中定点叫抛物线的焦点，竖山定直线叫抛物线的准线。
抛物线是指平面内到一个定点F和一条定直线1距离相等裤迹的点的轨迹。它有许多表示方法，例如参数表示，标准方程表示等等。它在几何光学和力学中有重抛物线也是圆锥曲线的一种，即圆锥面与平行于某条母线的平面相截而得要的用处。的曲线。抛物线在合适的坐标变换下，也可看成二次函数图像。
焦半径公式：y2=2pxp>0F=2x0Mx0y0为抛物线上任意一点的坐标，通径AB=2p，焦点弦AB=p+x1+x2AB=2psin2日2pPy2=2pxp>0AB=cos2x2=2pyp>0通径是最短的焦点弦，焦点弦的端点坐标Ax1y1，Bx2，y2，则有x1x2=yly2=p24p2n=1+cos日，m1-cosmtn=p。
抛物线的几何性质是？
存在对称轴 有最值 存在递增递减两个区间
抛物线的性质
抛物线几何性质
（1）设抛物线上一点P的切线与准线相交于Q，F是抛物线的焦点，则PF⊥QF。且过P作PA垂直于准线，垂足为A，那么PQ平分∠APF。
（2）过抛物线上一点P作准线的垂线PA，则∠APF的平分线与抛物线切于P。（为性质（1）第二部分的逆定理）从这条性质可以得出过抛物线上一点P作抛物线的切线的尺规作图方法。
（3）设抛物线上一点P的切线与法线分别交轴于A、B，则F为AB中点。
（4）设抛物线上除顶点外的点P的切线交轴于A，交顶点O的切线于B，则FB垂直平分PA，且FB与准线的交点M恰好是P在准线上的射影（即PM垂直于准线）。
（5）抛物线的三条切线所围成的三角形，其外接圆经过焦点。即：若AB、AC、BC都是抛物线的切线，则ABCF四点共圆。
（6）过抛物线外一点P作抛物线的两条切线，连接切点的弦与轴相交于A。又设P在轴上的射影为B，则O是AB中点。
（7）若抛物线与一个三角形的三条边（所在直线）都相切，则准线通过该三角形的垂心。
有关弦的几何性质
（8）焦点弦两端的切线互相垂直，并且垂足在准线上。
（9）过焦点弦的端点A、B作准线的垂线，垂足分别为M、N。设A、B处的切线相交于P，则P是MN中点，并且以AB为直径的圆切准线于P。
（10）若抛物线的两条焦点弦相等，连接这两条焦点弦的中点，则连线与轴垂直。
（11）抛物线的一条弦AB与轴相交于P（不一定是焦点F），过A、B分别作轴的垂线AM、BN，抛物线顶点为O，则OP2=AM*BN。
证明
以上性质均可以用坐标法来证明，在此以
为例给出性质（1）、（4）、（9）的证明。
（1）焦点
，准线
，设
，则过P的切线方程为：
令
，得
，所以
于是
，
易证二者数量积为0，因此有PF⊥QF。
要证PQ平分∠APF，可通过全等三角形的判定方法HL证明Rt△APQ≌Rt△FPQ，得到对应角∠APQ=∠FPQ即可。HL是显然的，因为根据抛物线的定义，有PF=PA，而斜边PQ是公共边，因此两个三角形全等。
根据这个性质，我们还能得出一个推论：AF被PQ垂直平分，并且四边形PAQF内接于圆，PQ为直径。
（4）根据已知条件，A在x轴上，B在y轴上。
PA方程为：
，令x和y等于0，解得
容易验证B就是AP中点
而
，它们的数量积为0，因此BF⊥AP，即BF垂直平分AP。
要证PM与准线垂直，只要证M的纵坐标与P相同，都为y0即可。
容易写出直线BF：
，令
，解得
故
，命题得证。
（9）设
联立AB与抛物线方程，消去x得
由韦达定理，
又PA与PB都为切线，根据切线方程，
联立PA与PB的表达式可解得
而
，根据中点坐标公式和韦达定理可知P是MN中点。
设AB中点为E，则E的纵坐标
，与P的纵坐标相同，
因此PE∥x轴，PE⊥MN
而根据性质（8）可知PA⊥PB，即△PAB为直角三角形
所以E是△PAB的外心，所以PE是半径
根据切线的判定定理可知，MN是圆E的切线，切点为P。
切线的尺规作图
根据几何性质（2）可以得到过抛物线上一点或抛物线外一点P作抛物线的切线的尺规作图方法。
（1）P在抛物线上
①过P作准线的垂线，设A为垂足
②连接PF（F是焦点）
③作∠APF的平分线PQ
则根据性质（2），直线PQ为切线
（2）P在抛物线外
①连接PF
②以P为圆心，PF为半径画弧，弧与准线分别交于A、B
③过A、B分别作准线的垂线，垂线和抛物线分别交于M、N
④连接PM、PN，则PM、PN为所求切线（有两条）
这是因为，若连接MF，则在△PAM和△PFM中
∵PA=PF（圆的定义），PM=PM（公共边），MA=MF（抛物线的定义）
∴△PAM≌△PFM（SSS）
∴∠AMP=∠FMP（全等三角形的对应角相等）
∴MP平分∠AMF（角平分线的定义）
高中数学抛物线的简单几何性质
1.抛物线切线定理 抛物线上任意点P，其在准线上的射影为M，抛物线焦点为F，则过P点的切线平分∠MPF。 2.抛物线切线方程 过抛物线上一点P（x0，y0）的的切线方程为：y0y=p(x+x0) 3.抛物线切点弦方程 过抛物线外一点P（x0，y0），做抛物线上的两条切线，切点为A，B，则过A，B的切点弦方程为：y0y=p(x+x0) 4.焦点弦性质 性质1：以焦点弦为直径的圆与准线相切。 性质2：以焦点弦在准线上的射影为直径的圆与焦点弦相切。 5.切点弦性质 性质1：准线上的点形成的切点弦过焦点。 性质2：做抛物线外一点的切点弦，如果过焦点，则此点必在准线上。
今天的内容先分享到这里了，读完本文《抛物线的几何性质(抛物线的几何性质图表)》之后，是否是您想找的答案呢？想要了解更多大学知识，敬请关注本站,您的关注是给小编最大的鼓励。
标签：抛物线的几何性质抛物线的简单几何性质抛物线几何性质抛物线的几何性质是?抛物线有哪些性质?抛物线的性质高中数学抛物线的简单几何性质
免责声明：本文由用户上传，如有侵权请联系删除！